Phân tích thừa số nguyên tố
Phân tích một số nguyên ra tích các thừa số nguyên tố online theo chuẩn SGK Toán 6. Hiển thị trực quan theo sơ đồ cột và tách dần dạng ngang, đếm và liệt kê toàn bộ các ước, kèm chế độ luyện tập 3 cấp độ có máy chấm thông minh.
Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng tay
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố nghĩa là chẻ số đó thành tích của các số nguyên tố — những "linh kiện" nhỏ nhất không chẻ tiếp được nữa. Mọi hợp số đều chẻ được, và dù chẻ theo đường nào thì kết quả cuối cùng cũng chỉ có một (đây là định lý cơ bản của số học). Việc này là nền của nhiều thứ về sau: tìm ƯCLN và BCNN, rút gọn phân số, đếm số ước của một số. Có hai cách trình bày phổ biến, trường học thường dạy cả hai.
Sơ đồ cột — cách chắc chắn nhất cho mọi số
Viết số cần phân tích, kẻ một đường thẳng đứng bên phải. Thử chia số đó cho số nguyên tố nhỏ nhất có thể theo thứ tự 2, 3, 5, 7, 11..., viết thừa số vào cột phải, viết thương xuống dưới rồi lặp lại với thương mới, tới khi thương bằng 1 thì dừng. Đọc các số ở cột phải từ trên xuống dưới là xong. Ví dụ với 360: chia 2 được 180, chia 2 được 90, chia 2 được 45, chia 3 được 15, chia 3 được 5, chia 5 được 1. Vậy 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5, gộp lại thành 2³ × 3² × 5. Lưu ý: mỗi lần chia phải thử lại từ số nguyên tố nhỏ nhất, vì thương mới có thể lại chia hết cho 2 hoặc 3 tiếp.
Tách dần dạng ngang — nhanh với số dễ nhìn
Tách số thành tích hai thừa số bất kì mình nhìn ra rồi chẻ tiếp từng thừa số chưa nguyên tố: 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7. Người khác có thể tách 84 = 4 × 21 rồi cũng về đúng 2 × 2 × 3 × 7 — đường đi khác nhau nhưng điểm đến giống hệt, vì kết quả phân tích là duy nhất. Cách này nhanh khi số dễ nhìn, nhưng với số lạ hoặc số lớn thì sơ đồ cột ít sót hơn.
Mẹo dừng sớm khi gặp thương lớn
Khi thương còn lại khá lớn và chưa rõ nó là nguyên tố hay hợp số, không cần thử chia mãi: chỉ cần thử các số nguyên tố tới căn bậc hai của thương. Nếu qua mốc đó mà vẫn không chia hết cho số nào thì thương chính là số nguyên tố, viết nó vào và dừng. Ví dụ khi phân tích mà còn lại thương 193: căn bậc hai của 193 khoảng 13,9 nên chỉ cần thử 2, 3, 5, 7, 11, 13 — không số nào chia hết, kết luận ngay 193 là số nguyên tố.
⚠️ Ba lỗi thường gặp cần tránh:
Dừng quá sớm
Thương còn là hợp số đã vội kết luận, chẳng hạn viết 360 = 2 × 180 rồi dừng — 180 chưa phải số nguyên tố. Chỉ dừng khi mọi thừa số trong tích đều là số nguyên tố.
Gộp sót khi viết lũy thừa
Cột chia có ba số 2 mà chỉ viết 2². Trước khi gộp, hãy đếm lại số lần xuất hiện của từng số nguyên tố trong cột.
Coi 1 là số nguyên tố
Số 1 không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số, và không bao giờ viết 1 vào tích. Nếu coi 1 là nguyên tố thì một số sẽ có vô số cách phân tích (6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3...), mất đi tính duy nhất.
💡 Lời khuyên trước khi nộp bài: Giữ thói quen tự kiểm tra rất đáng tập: nhân ngược các lũy thừa vừa gộp phải ra đúng số ban đầu — 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360, khớp là yên tâm. Một mẹo phụ: tổng các số mũ sau khi gộp phải bằng đúng số thừa số đếm được trong cột chia (ở ví dụ trên: 3 + 2 + 1 = 6 thừa số).
5 ví dụ phân tích thừa số nguyên tố điển hình
Các bài toán tiêu biểu từ số nhỏ đến số lớn, số nguyên tố và số chính phương đã được kiểm chứng độc lập.
Phân tích số 36 ra thừa số nguyên tố
Kết quả: $36 = 2^2 \times 3^2$.
Số lượng ước: $(2 + 1) \times (2 + 1) = 3 \times 3 = 9$ ước.
Tổng các ước: $(1 + 2 + 4) \times (1 + 3 + 9) = 7 \times 13 = 91$.
Tập hợp các ước: $\mathcal{U}(36) = \{ 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 \}$.
Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố (Sơ đồ cột chuẩn)
Sơ đồ chia liên tiếp qua các thương: $360 \to 180 \to 90 \to 45 \to 15 \to 5 \to 1$.
Kết quả: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$.
Số lượng ước: $(3 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ ước.
Tổng các ước: $(1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3 + 9) \times (1 + 5) = 15 \times 13 \times 6 = 1170$.
Phân tích số 97 (Trường hợp số nguyên tố)
Căn bậc hai của 97 khoảng 9,8. Thử chia cho các số nguyên tố nhỏ hơn 10 (gồm 2, 3, 5, 7) đều không chia hết.
Kết luận: 97 là số nguyên tố nên phân tích ra thừa số nguyên tố là chính nó: $97 = 97$.
Số lượng ước: $(1 + 1) = 2$ ước. Tổng các ước: $1 + 97 = 98$.
Phân tích số 1024 (Lũy thừa thuần túy của 2)
Thực hiện liên tiếp 10 phép chia cho 2.
Kết quả: $1024 = 2^{10}$.
Số lượng ước: $(10 + 1) = 11$ ước (gồm: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024).
Tổng các ước: $2^{11} - 1 = 2047$.
Phân tích số 2025 (Số chính phương 45²)
Sơ đồ chia liên tiếp: chia 3 bốn lần, chia 5 hai lần.
Kết quả: $2025 = 3^4 \times 5^2$.
Số lượng ước: $(4 + 1) \times (2 + 1) = 5 \times 3 = 15$ ước (số lượng ước là số lẻ vì 2025 là số chính phương).
Tổng các ước: $(1 + 3 + 9 + 27 + 81) \times (1 + 5 + 25) = 121 \times 31 = 3751$.
Câu hỏi thường gặp về phân tích thừa số nguyên tố
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là gì và dùng để làm gì?
Đó là viết một hợp số thành tích của các thừa số nguyên tố, ví dụ 360 = 2³ × 3² × 5. Đây là bước nền cho nhiều việc khác: tìm ƯCLN và BCNN nhanh, rút gọn phân số về tối giản, đếm và liệt kê tất cả các ước của một số. Một kết quả quan trọng: mọi hợp số chỉ có đúng một cách phân tích (không kể thứ tự các thừa số).
Vì sao số 1 không phân tích ra thừa số nguyên tố được?
Vì 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số, và nó không có thừa số nguyên tố nào cả. Nếu coi 1 là số nguyên tố thì tính duy nhất của phép phân tích sẽ mất: 6 = 2 × 3, nhưng cũng bằng 1 × 2 × 3, bằng 1 × 1 × 2 × 3... nên các nhà toán học thống nhất loại 1 ra khỏi tập số nguyên tố.
Làm sao biết một số là số nguyên tố khi đang phân tích?
Thử chia số đó cho các số nguyên tố theo thứ tự 2, 3, 5, 7, 11... nhưng chỉ cần thử tới căn bậc hai của nó. Nếu đã qua mốc căn bậc hai mà vẫn không chia hết cho số nguyên tố nào thì số đó là số nguyên tố. Ví dụ với 193: căn bậc hai khoảng 13,9 nên chỉ cần thử 2, 3, 5, 7, 11, 13 — không số nào chia hết nên 193 là số nguyên tố.
Từ kết quả phân tích, đếm nhanh số ước của một số bằng cách nào?
Cộng 1 vào mỗi số mũ trong dạng phân tích rồi nhân các kết quả với nhau. Ví dụ 360 = 2³ × 3² × 5 có (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 ước. Lí do: mỗi ước của 360 đều có dạng 2^a × 3^b × 5^c với a chọn từ 0 tới 3 (4 cách), b từ 0 tới 2 (3 cách), c từ 0 tới 1 (2 cách).