Kiểm tra số nguyên tố & số chính phương
Kiểm tra một số nguyên có phải là số nguyên tố hay số chính phương không online miễn phí. Hiển thị chi tiết từng phép thử chia tới căn bậc hai, thanh kẹp số chính phương trực quan, và chế độ luyện tập 3 cấp độ.
Cách kiểm tra số nguyên tố và số chính phương bằng tay
Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay số chính phương là hai câu hỏi khác nhau và có hai cách làm khác nhau. Điểm chung duy nhất: không câu nào trả lời được bằng cách "nhìn mặt" — những số trông lạ như 91 hay 111 rất hay là hợp số trá hình. Cứ theo đúng quy tắc dưới đây, chậm mà chắc.
Kiểm tra nguyên tố bằng phép thử chia tới căn bậc hai
Thử chia số cần kiểm tra cho các số nguyên tố theo thứ tự 2, 3, 5, 7, 11... nhưng chỉ tới căn bậc hai của nó. Chia hết cho một số nào thì kết luận ngay là hợp số và dừng; qua mốc căn bậc hai mà không chia hết cho số nào thì kết luận là số nguyên tố. Ví dụ 91: căn bậc hai khoảng 9,5 nên chỉ thử 2, 3, 5, 7 — tới 7 thì 91 = 7 × 13, chia hết, vậy 91 là hợp số. Ví dụ 97: căn bậc hai khoảng 9,8, thử 2, 3, 5, 7 đều không chia hết, vậy 97 là số nguyên tố.
Lọc nhanh ba cái rây trước khi chia thật
Số chẵn (khác 2) thì là hợp số; số tận cùng 5 (khác 5) thì là hợp số; số có tổng các chữ số chia hết cho 3 (khác 3) thì là hợp số. Ba cái rây này bắt được phần lớn hợp số nhỏ ngay lập tức, phần còn lại mới cần thử chia theo Quy tắc 1. Ví dụ 111: tổng chữ số bằng 3, chia hết cho 3 (111 = 3 × 37) nên là hợp số dù trông rất "nguyên tố".
Kiểm tra chính phương bằng cách kẹp giữa hai bình phương liên tiếp
Tìm hai số chính phương liên tiếp ôm lấy số cần kiểm tra: nếu số đó khớp đúng đầu dưới thì là số chính phương, nằm lọt giữa thì không phải. Muốn kẹp nhanh, ước lượng căn bậc hai làm tròn xuống rồi bình phương thử. Ví dụ 2025: 40² = 1600 còn nhỏ, 45² = 2025 khớp đúng — vậy 2025 là số chính phương (45²). Trước khi kẹp, liếc chữ số tận cùng: số chính phương chỉ tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9; gặp tận cùng 2, 3, 7, 8 (như 1247) thì kết luận ngay là không phải, khỏi cần kẹp.
⚠️ Ba lỗi thường gặp cần tránh:
Thử chia chưa tới căn bậc hai đã kết luận
Ví dụ kiểm tra 121 mà chỉ thử tới 7 rồi bảo là số nguyên tố — sai, vì căn bậc hai của 121 bằng 11 và 121 = 11². Mốc dừng là căn bậc hai, không phải mốc nào mình thấy "đủ xa".
Coi 1 là số nguyên tố
Số 1 chỉ có một ước là chính nó, trong khi số nguyên tố cần đúng hai ước phân biệt. Số 1 (và số 0) không phải số nguyên tố cũng không phải hợp số.
Thấy tận cùng 1, 4 hoặc 9 là kết luận ngay số chính phương
Tận cùng hợp lệ chỉ là điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ: 21 tận cùng 1 nhưng 16 < 21 < 25 nên 21 nằm giữa 4² và 5², không phải số chính phương.
💡 Trước khi nộp bài, giữ thói quen tự kiểm tra rất đáng tập: với kết luận hợp số, nhân ngược cặp thừa số vừa tìm được phải ra đúng số ban đầu (7 × 13 = 91). Với kết luận chính phương, bình phương lại số căn vừa tìm và so với số gốc (45 × 45 = 2025). Còn một mẹo kiểm tra chéo rất mạnh: một số là số chính phương khi và chỉ khi mọi số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố của nó đều chẵn — phân tích thử bằng công cụ phân tích thừa số là thấy ngay.
5 ví dụ kiểm tra số nguyên tố và số chính phương điển hình
Các bài toán số học tiêu biểu từ số nhỏ đến số lớn, đã được kiểm chứng độc lập theo chuẩn SGK.
Kiểm tra số 97
Nguyên tố: Có — Căn bậc hai $\sqrt97 \approx 9,8$; các số nguyên tố không vượt quá $\sqrt97$ là 2, 3, 5, 7. Thử chia: 97 : 2 dư 1; 97 : 3 dư 1; 97 : 5 dư 2; 97 : 7 dư 6. Không có phép thử nào chia hết nên 97 là số nguyên tố.
Chính phương: Không — Vì $9^2 = 81 < 97 < 10^2 = 100$, số 97 nằm giữa hai số chính phương liên tiếp 81 và 100.
Kiểm tra số 91
Nguyên tố: Không — Thử chia cho 2, 3, 5 đều có dư; tới số 7 thì $91 : 7 = 13$ (chia hết). Do đó $91 = 7 \times 13$ là hợp số.
Chính phương: Không — Vì $9^2 = 81 < 91 < 10^2 = 100$. Số nguyên tố liền trước là 89, số nguyên tố liền sau là 97.
Kiểm tra số 144
Nguyên tố: Không — 144 chia hết cho 2 ($144 = 2 \times 72$) nên là hợp số.
Chính phương: Có — Vì $144 = 12^2$. Cách 2: phân tích thừa số nguyên tố $144 = 2^4 \times 3^2$, mọi số mũ (4 và 2) đều là số chẵn.
Kiểm tra số 1
Nguyên tố: Không — Số 1 chỉ có 1 ước duy nhất là chính nó nên theo định nghĩa không phải là số nguyên tố cũng không phải hợp số.
Chính phương: Có — Vì $1 = 1^2$.
Kiểm tra số 999983
Nguyên tố: Có — Đây là số nguyên tố lớn nhất dưới 1.000.000. Tất cả các phép thử chia cho số nguyên tố tới $\sqrt999983 \approx 999,9$ đều có dư.
Chính phương: Không — Vì $999^2 = 998001 < 999983 < 1000^2 = 1000000$. Số nguyên tố liền trước là 999979, số nguyên tố liền sau là 1000003.
Câu hỏi thường gặp về số nguyên tố và số chính phương
Số nguyên tố là gì? Vì sao 0 và 1 không phải là số nguyên tố? ▾
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó. Số 1 chỉ có một ước duy nhất là chính nó nên không phải số nguyên tố. Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác nó nên cũng không phải số nguyên tố. Cả 0 và 1 đều không phải là hợp số.
Vì sao kiểm tra tính nguyên tố chỉ cần thử chia tới căn bậc hai? ▾
Nếu n là hợp số thì n = a × b với a ≤ b, khi đó a không thể lớn hơn √n (vì nếu cả a và b đều lớn hơn √n thì tích của chúng lớn hơn n). Nên nếu có ước thật sự thì chắc chắn có một ước nguyên tố không vượt quá √n — thử tới mốc đó là đủ kết luận.
Số chính phương là gì? Nhìn chữ số tận cùng có nhận biết được không? ▾
Số chính phương là bình phương của một số nguyên: 0, 1, 4, 9, 16, 25... Chữ số tận cùng của số chính phương chỉ có thể là 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9 — gặp số tận cùng 2, 3, 7, 8 thì loại ngay không cần tính. Nhưng tận cùng hợp lệ chưa chắc đã là số chính phương (ví dụ 26 tận cùng 6 mà không phải), nên vẫn phải kiểm tra bằng cách kẹp căn hoặc phân tích thừa số.
Một số có thể vừa là số nguyên tố vừa là số chính phương không? ▾
Không. Số chính phương lớn hơn 1 thì luôn có thêm ước là chính căn bậc hai của nó (ví dụ 144 có ước 12) nên là hợp số. Còn số chính phương duy nhất dưới 2 là 0 và 1, mà cả hai đều không phải số nguyên tố. Vì vậy hai tính chất này không bao giờ cùng đúng trên một số.