Tìm ƯCLN và BCNN
Tính chính xác Ước chung lớn nhất (ƯCLN) và Bội chung nhỏ nhất (BCNN) cho 2 hoặc 3 số nguyên. Cung cấp lời giải chi tiết theo 2 phương pháp chuẩn SGK Toán 6: Phân tích ra thừa số nguyên tố và Thuật toán Euclid, kèm bảng liệt kê bội trực quan và chế độ luyện tập 3 cấp độ.
Cách tìm ƯCLN và BCNN bằng tay, đúng chuẩn SGK
Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất là hai khái niệm "sinh đôi" của Toán 6: một bên gom về ước, một bên gom về bội. Học sinh hay nhầm chúng với nhau, nhưng chỉ cần nhớ một câu: ƯCLN lấy phần CHUNG và NHỎ, BCNN lấy phần BAO QUÁT và LỚN. Dưới đây là hai cách tìm chuẩn SGK.
Cách phân tích ra thừa số nguyên tố (cách chính)
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Ví dụ: $12 = 2^2 \times 3$; $18 = 2 \times 3^2$.
Bước 2: Tìm ƯCLN — chọn các thừa số nguyên tố CHUNG của các số, mỗi thừa số lấy với số mũ NHỎ nhất: $\text{ƯCLN}(12; 18) = 2 \times 3 = 6$.
Bước 3: Tìm BCNN — chọn MỌI thừa số nguyên tố xuất hiện, mỗi thừa số lấy với số mũ LỚN nhất: $\text{BCNN}(12; 18) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
Với ba số, nguyên tắc y hệt: ƯCLN chỉ lấy thừa số chung của cả ba, BCNN lấy mọi thừa số có mặt ở bất kỳ số nào.
Thuật toán Euclid — cách nhanh cho số lớn
Muốn tìm ƯCLN của hai số lớn, đừng phân tích: hãy chia số lớn cho số nhỏ và giữ lại số dư, rồi lặp lại với số nhỏ và số dư đó. Ví dụ: $72 = 48 \times 1 + 24$; $48 = 24 \times 2 + 0$ — khi số dư bằng 0 thì dừng, ƯCLN là số chia ở bước cuối: $24$. Cách này chạy được vì ƯCLN của hai số bằng ƯCLN của số nhỏ và số dư. Tìm xong ƯCLN thì BCNN có ngay với hai số: $\text{BCNN} = a \times b \div \text{ƯCLN}$.
Hai trường hợp đặc biệt — nhận ra là xong ngay
• Hai số nguyên tố cùng nhau (không có thừa số nguyên tố chung nào, ví dụ 8 và 9): ƯCLN bằng $1$ và BCNN bằng tích của chúng ($8 \times 9 = 72$).
• Một số là bội của số kia (ví dụ 6 và 12): ƯCLN là số nhỏ ($6$), BCNN là số lớn ($12$).
Ba lỗi thường gặp cần tránh:
Lấy số mũ lớn nhất cho ƯCLN, hoặc chỉ lấy thừa số chung cho BCNN, đều sai. Hãy nhớ: ƯCLN "chung và nhỏ", BCNN "tất cả và lớn".
Đẳng thức này chỉ đúng với hai số. Với ba số nó sai hẳn: chẳng hạn ƯCLN × BCNN của 12, 18, 30 là $6 \times 180 = 1080$, còn tích của ba số là $6480$.
Rút gọn phân số phải chia cả tử và mẫu cho ƯCLN, còn quy đồng mẫu số phải dùng BCNN. Dùng ngược lại thì dù tính đúng hai con số, bài làm vẫn sai.
Một thói quen tự kiểm tra rất đáng tập: với hai số, hãy nhân thử $\text{ƯCLN} \times \text{BCNN}$ xem có bằng tích của hai số không ($6 \times 36 = 216 = 12 \times 18$). Ngoài ra, ƯCLN phải là ước của mọi số đã cho và BCNN phải là bội của mọi số đã cho — kiểm tra hai tính chất này bắt được hầu hết lỗi chọn thừa số.
5 ví dụ giải sẵn tìm ƯCLN và BCNN mẫu mực
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $12 = 2^2 \times 3$ và $18 = 2 \times 3^2$.
• $\text{ƯCLN}(12; 18) = 2^1 \times 3^1 = 6$.
• $\text{BCNN}(12; 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.
Đáp số: $\text{ƯCLN} = 6$; $\text{BCNN} = 36$.
Phân tích ra thừa số nguyên tố: $24 = 2^3 \times 3$ và $36 = 2^2 \times 3^2$.
• $\text{ƯCLN}(24; 36) = 2^2 \times 3 = 12$.
• $\text{BCNN}(24; 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.
Đáp số: $\text{ƯCLN} = 12$; $\text{BCNN} = 72$.
Áp dụng phép chia Euclid liên tiếp:
$$\begin{aligned} 72 &= 48 \times 1 + 24 \\ 48 &= 24 \times 2 + 0 \end{aligned}$$
Số dư khác 0 cuối cùng là $24 \implies \text{ƯCLN}(48; 72) = 24$.
$\text{BCNN}(48; 72) = \dfrac{48 \times 72}{24} = 144$.
Đáp số: $\text{ƯCLN} = 24$; $\text{BCNN} = 144$.
Phân tích: $8 = 2^3$ và $9 = 3^2$.
Hai số không có thừa số nguyên tố chung nào $\implies \text{ƯCLN}(8; 9) = 1$.
Vì nguyên tố cùng nhau nên $\text{BCNN}(8; 9) = 8 \times 9 = 72$.
Đáp số: $\text{ƯCLN} = 1$; $\text{BCNN} = 72$.
Phân tích: $12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$ và $30 = 2 \times 3 \times 5$.
• Thừa số chung của cả ba là $2$ và $3$ với số mũ nhỏ nhất là $1 \implies \text{ƯCLN} = 2 \times 3 = 6$.
• Mọi thừa số xuất hiện là $2, 3, 5$ với số mũ lớn nhất $\implies \text{BCNN} = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$.
Đáp số: $\text{ƯCLN} = 6$; $\text{BCNN} = 180$.
Câu hỏi thường gặp về ƯCLN và BCNN
ƯCLN và BCNN khác nhau thế nào, mỗi cái dùng vào việc gì?
ƯCLN (Ước chung lớn nhất) là số lớn nhất mà tất cả các số đã cho đều chia hết, thường dùng trong các bài toán chia đều (chia kẹo, chia quà, xếp đội hình) và rút gọn phân số về tối giản. Ngược lại, BCNN (Bội chung nhỏ nhất) là số nhỏ nhất khác 0 chia hết cho tất cả các số đã cho, thường dùng trong việc quy đồng mẫu số các phân số và giải các bài toán chu kỳ lặp lại (hai xe cùng xuất phát và gặp lại nhau, hai chuông cùng reo).
Vì sao đẳng thức ƯCLN × BCNN = a × b chỉ đúng với hai số?
Với hai số a và b, khi phân tích ra thừa số nguyên tố, với mỗi số nguyên tố p có số mũ x trong a và y trong b, ta luôn có min(x, y) + max(x, y) = x + y. Nghĩa là tích của ƯCLN và BCNN gom đủ số mũ của cả hai số nên bằng đúng tích a × b. Tuy nhiên với ba số trở lên, tổng min(x, y, z) + max(x, y, z) không bằng x + y + z (vì thiếu số mũ trung gian), do đó đẳng thức này không còn đúng cho ba số.
Hai số nguyên tố cùng nhau là gì? ƯCLN và BCNN của chúng bằng bao nhiêu?
Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số chỉ có ước chung duy nhất là 1, nghĩa là chúng không có bất kỳ thừa số nguyên tố chung nào (ví dụ 8 và 9, dù cả hai đều là hợp số). Khi hai số nguyên tố cùng nhau thì ƯCLN bằng 1 và BCNN bằng chính tích của hai số đó (ví dụ BCNN(8; 9) = 8 × 9 = 72).
Làm thế nào tìm tất cả ước chung và các bội chung mà không phải liệt kê từ đầu?
Nhờ có ƯCLN và BCNN, em không cần phải mất công tìm từng ước hay từng bội của từng số rồi so sánh. Để tìm tất cả các ước chung, em chỉ cần tìm các ước của số ƯCLN. Để tìm các bội chung, em chỉ cần lấy số BCNN nhân lần lượt với 0, 1, 2, 3,... Cách làm này giúp tiết kiệm thời gian và đảm bảo không bao giờ bị sót.